树状数组，是一个用于在近似 $O(logn)$ 时间内动态修改以及查询前缀和的数据结构，以下我们先来看以下树关系表格
层 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 16 2 8 12 14 15 3 4 6 7 10 11 13 4 2 3 5 9 5 1 这里表达的是，16的子节点有8, 12, 14, 15
8的子节点有4, 6, 7
12的子节点有10, 11，即夹在12与它的同级节点8之间
我们把数值与它的二进制一起形象化画出下图
graph TD; 2,0010-->1,0001 4,0100-->3,0011 4,0100-->2,0010 6,0110-->5,0101 8,1000-->7,0111 8,1000-->6,0110 8,1000-->4,0100 10,1010-->9,1001 12,1100-->11,1011 12,1100-->10,1010 14,1110-->13,1101 16,10000-->8,1000 16,10000-->12,1100 16,10000-->14,1110 16,10000-->15,1111 这样构造的原理是运用到一个二进制运算技巧，假设一个节点x，那么它的父节点就是x + (x & -x)，其中，x & -x是去掉右起第一个1的左边的1，例如x如果是6，二进制是110，只保留最右边的1结果就是10了，所以6的父节点就是6+2=8，更多的可以参考这篇二进制技巧。
在上一篇我们介绍了快排的各种优化，最后得到了一个超越VS的STL std::sort实现的版本，这回我们来讲讲怎么折磨gcc的std::sort。
GCC的实现 这个我直接给个github来源，链接里是gcc8分支的实现源码，我已经通过链接标记出第1896行，那里就是__unguarded_partition函数的实现，就是快排的划分函数，而在后面几个函数就是快排的本体了。为了避免它代码更新导致位置变化，我把相关代码复制过来。
在上一篇我们介绍了四种不同的划分算法，现在我们来针对Hoare partition scheme来讲解一些优化和注意的问题。
最坏时间复杂度的优化 在前一篇的示例代码里面，只是最简单地选择的最开头或最后面的元素作为划分，这对于乱序的数据还好，对于有序的数据这么做，时间复杂度就直接变成$O(n^2)$了，那么怎么解决？第一个要解决的反而不是划分元素的选择上，而是改成intro sort，记录递归深度或类似的办法，到达限制条件的时候改而使用堆排序，这属于混合排序，先让排序的最坏时间复杂度降下来是第一要务。所以可以改写出以下代码：
本篇补充smooth sort和weakheap sort，不打算做太多介绍，因为自己太菜不会讲，只作为笔记来记录一下实现代码。smooth sort在接近排序完成的情况下的动态图
堆排序其实是最不好优化的一个，在数据结构都确定的情况下，优化空间太小，除非优化数据结构本身，但那样就不叫做堆排序了。类似堆排序的还有smooth sort和weakheap sort，有兴趣可以自己查找相关资料。
堆排序原理 堆排序其实是选择排序的优化变种，选择排序是把最大或最小的元素放到最边上，然后不断重复以上过程，堆排序也是如此，只不过堆排序通过构建数据结构，让查找最大或最小元素并放到最边上的速度比选择排序快得多。
首先我们先来介绍什么是堆。堆只是个缩写，全名是二叉堆，是一种完全二叉树，它的特点是二叉堆的父节点元素不小于子节点的元素，以下为二叉堆例图
graph TD; 30-->29 30-->28 29-->24 29-->25 28-->26 28-->22 24-->21
这里记录的是素数判断 Miller Rabbin 的快速判定算法，而分解使用的算法是 Pollard Rho 的玄学分解算法，这个算法的理论依据是生日悖论，这里不具体讨论这个数学问题，具体讨论看前面链接就可以了。
以下我们分别简要介绍这两个算法的原理
首先这是Miller Rabbin的维基百科介绍页，由于页面是中文，这里不做重复介绍。
下面简要解释一下Pollard’s Rho算法的原理，这是它的维基百科页面
首先我们来定义这样一个函数
$$f(x)=(x*x+c)%n$$
其中n是需要被分解的数，c是一个任意小于n的正整数常数。那么我们给一个初始值x1，通过计算 $f(x1)$ 得到x2，然后去求 $|x1-x2|$ 与 n 的最大公约数，只要结果大于1就找到了分解结果。那如果最大公约数仍然是1，那么就通过刚才的x2求出 $x3=f(x2)$ 并计算 $|x1-x3|$ 与 n 的最大公约数。也就是说，我们可以通过这个公式得到一个数列
二进制位运算的技巧特别多，这里就做一份cheat sheet，希望能帮助到大家。不过过于简单的就不列举了
单行表达式 作用 表达式 把右边连续的1变成0 n & ( n + 1 ) 把右边第一个1变成0 n & ( n - 1 ) 把右起第一个0变成1 n | ( n + 1 ) 把右起连续的0变成1 n | ( n - 1 ) 取右边连续的1 n ^ ( n + 1 ) 去掉右起第一个1的左边 n & -n 或 n & ( n ^ ( n - 1 ) ) 高低位交换，前x位 ( n << x ) | ( x >> ( 32 - x ) ) 有符号整数计算绝对值 ( n ^ (n >> 31) ) - (n >> 31)
本篇针对插入排序和希尔排序来讲优化思路，有部分内容因为前一篇文章已经有交代，这里不重复，如果你还没有看，请先看前一篇。我们来看插入排序的动图演示
插入排序保证前面一块是有序的情况下，新增的一个元素通过向前交换到合适的位置，所以叫做插入排序。
插入排序基本实现 我们先来看插入排序的基本实现
void insert_sort(sort_element_t * beg, sort_element_t * end) { for (sort_element_t* i = beg + 1; i < end; ++i) { sort_element_t val = *i; sort_element_t* j = i; for (; j > beg && val < j[-1]; --j) { *j = j[-1]; } *j = val; } } 插入排序即使不做任何优化，效率也明显高于上篇所说的冒泡排序和选择排序。那么按照惯例，先上双向看看效果
本篇针对两种最基本的排序（冒泡、选择）来讲优化思路。越是简单的东西反而可能存在你越想不到的优化点。但是在开始之前，先给不了解的人讲一个设计原则的问题，我们在设计排序接口的时候，最为常见的有
void sort(type arr[], int len)
也许你也见过
void sort(iter beg, iter end)
这时候问题就来了，很多人会错误地把end认为是最后一个元素，其实不然，这两接口可以相互转换，例如我们可以写 sort(arr, arr + len) ，这样写很自然对不对，但如果你认为end是最后一个元素，那你就不得不改成 sort(arr, arr + len - 1) 。事实上，这类的接口我们需要一个统一的原则，就是左闭右开区间原则，即beg就是首个元素，而end是最后一个元素+1，即end是作为结束标志，不应该把end算在范围内。接下来下面所有的接口写法，都是以
void sort(iter beg, iter end)
这种方式写的，至于这样写有什么好处，接下来我们就看示例。
选择排序
我们现在使用的排序，很大比例在使用quick sort，因为它是平均速度最快的排序，但与此同时它可能也是坑最深的排序，现在我们就来讨论讨论它，因为内容较多，我计划写多篇，本篇是第一篇。
快排的思路 我们先来介绍一下快排的思路。快排的思路其实很简单，在数组中选一个元素，我们就称呼这个元素为pivot，通过与这个元素的比较，把数组划分成不比pivot大的在一边，不比pivot小的在另一边，于是就分成了两个更小的数据，对它们分别再排序就行了。但是，这个描述特别的含糊，首先是怎么选中间元素，这里面有很多不同的做法。然后就是划分了，这个划分方法非常的多，水也特别深，这里主要介绍最为常见的划分方法。